Apache běží pod uživatelem, který je napsaný v konfiguráku (/etc/apache2/apache2.conf - direktiva User a Group). Takže jestli chceš spouštět pomocí apache nějaké skripty, tak buď u nich musíš nastavit práva ostatních pro spouštění (chmod o+x skript.sh) nebo třeba můžeš soubor dát do skupiny, pod kterou běží apache a nastavit spouštění pro skupinu (chmod g+x skript.sh ; chgrp www-data skript.sh). Pak by ti to mělo fungovat tak, jak potřebuješ, pokud se nepletu :-)
EDIT: příkazu jsem napsal skupinu www-data, protože předpokládám, že pod ní Apache běží (defaultně), ale pokud je v konfigu jiná skupina, napiš tam tu :-)