Já jsem na toto používal add-on
FireTray.
Nainstaluješ, pak v nastaveních toho add-onu dáš (něco jako)
Start minimized - aby se to spouštělo rovnou v systrayi/oznamovací oblasti. Pak v Systém → Nastavení → Sezení přidáš řádek s příkazem
thunderbird. Tím se Ti spustí se systémem a zobrazí pouze ikonku v ozn. oblasti.
Už to tak nepoužívám, tak jsem to možná nepopsal přesně, klidně se ještě ozvi, kdyby něco nefungovalo.